Black-Scholes期权定价模型 - MBA智库百科
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Black-Scholes期权定价模型
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Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型
目录
1 Black-Scholes 期权定价模型概述
2 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
2.1 (一)B-S模型有7个重要的假设
2.2 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]
3 B-S定价模型的推导与运用[1]
4 B-S模型的发展、股票分红
5 B-S模型的影响
6 对B-S模型的检验､批评与发展
7 相关条目
8 参考文献
[编辑] Black-Scholes 期权定价模型概述
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑] B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者能够以无风险利率借贷。
[编辑] (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]
其中:
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数 ，在此应当说明两点：
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单
的或不连续的无风险利率(设为)一般是一年复利
一次，而r要求利率连续复利。必须转化为r方能
代入上式计算。两者换算关系为:或。例如，
则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，
该结果与直接用计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365
天的比值。如果期权有效期为100天，则。
[编辑] B-S定价模型的推导与运用[1]
(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
其中，
E[G]—看涨期权到期期望值
—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L
2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
max(St − L,O) = 0
从而:
其中:P：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = erT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT
其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:
ζ：正态分布随机变量
x：关键值
μ-ζ的期望值
σ-ζ的标准差
所以:P = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。
第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，
E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)
其中:
最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)
(二)看跌期权定价公式的推导
B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
移项得:
，
将B-S模型代入整理得:
此即为看跌期权初始价格定价模型。
(三)B-S模型应用实例
假设市场上某股票现价S为 164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求d1:
=0.0328
②求d2:
③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761
④求C:
C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。
[编辑] B-S模型的发展、股票分红
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。
(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004= 6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)
[编辑] B-S模型的影响
自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journal of Political Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。
[编辑]对B-S模型的检验､批评与发展
B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。
1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：
1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。
2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。
3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。
4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。
对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：
首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)､约翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·罗斯(Stephen A. Ross)、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。
其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。
再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。
此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。
[编辑] 相关条目
期权定价模型
二项期权定价模型
鞅定价方法
风险中性定价理论
[编辑] 参考文献
↑ 1.0 1.1 苏江.关于我国权证基于B-S模型定价研究(D).北京大学中国经济研究中心
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评论(共55条)提示:评论内容为网友针对条目"Black-Scholes期权定价模型"展开的讨论，与本站观点立场无关。
Cupidljj (Talk | 贡献) 在 2008年4月9日 16:29 发表
公式怎么感觉怪怪的啊……
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199.201.45.* 在 2008年6月26日 17:25 发表
就是
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124.225.45.* 在 2008年8月30日 10:53 发表
看的我头皮发麻
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220.139.153.* 在 2008年10月19日 20:06 发表
可以說明哪裡怪怪的嗎@@"
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Angle Roh (Talk | 贡献) 在 2008年12月5日 16:48 发表
该条目内容是本人发的，因公式错误，而困扰了大家，本人深感抱歉，现已做了更改补充，不正确之处，请大家及时更改，谢谢！
个别公式看起来比较零乱，那是显示的原因
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130.158.100.* 在 2009年1月14日 22:49 发表
太感谢了！
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116.253.219.* 在 2009年3月3日 22:31 发表
看不懂！
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58.19.92.* 在 2009年4月15日 11:35 发表
感谢
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124.200.240.* 在 2009年5月10日 16:33 发表
您说的第四条假设后来被放弃了么？不是还有根据第四条假设的变形公式么？敬请回复~
guoxiaolong369@163.com9
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122.224.145.* 在 2009年5月27日 11:29 发表
Angle Roh (Talk | 贡献) 在 2008年12月5日 16:48 发表
该条目内容是本人发的，因公式错误，而困扰了大家，本人深感抱歉，现已做了更改补充，不正确之处，请大家及时更改，谢谢！
个别公式看起来比较零乱，那是显示的原因
N（d1）是买权执行的概率吗？
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116.227.5.* 在 2009年8月20日 10:57 发表
你的概率推导输入上面有不少错误，比如括号少打，指数，下标位置不对
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Zfj3000 (Talk | 贡献) 在 2009年8月20日 17:27 发表
116.227.5.* 在 2009年8月20日 10:57 发表
你的概率推导输入上面有不少错误，比如括号少打，指数，下标位置不对
谢谢指正，已对内容进行修改。MBA智库是可以自由编辑的，您也可以参与完善。
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113.76.237.* 在 2009年9月10日 22:11 发表
有些不明白.能不能拿现在的恒指的数据算下期权的引伸波幅?谢谢!
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111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:09 发表
此公式纯粹是经济学扯淡！
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111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:18 发表
"因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 "——————这句话不很荒谬吗？难道经济学家们和学人们看不出来？
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111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:21 发表
荒谬荒谬荒谬！虽然不怎么能看懂这公式，但从逻辑上看这种思路有很大问题，应该换种思路来思考计算。本人有种不同的分析计算思路，但限于时间，暂时先这样记下。
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138.25.76.* 在 2010年5月29日 23:24 发表
期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75 直接就套利了
在BS的假设下，马上就会有人破产
所以不仅仅是获利这么简单
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216.165.62.* 在 2011年4月7日 02:03 发表
111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:21 发表
荒谬荒谬荒谬！虽然不怎么能看懂这公式，但从逻辑上看这种思路有很大问题，应该换种思路来思考计算。本人有种不同的分析计算思路，但限于时间，暂时先这样记下。
你把自己吹这么厉害下个nobel你拿？
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58.19.97.* 在 2011年4月18日 08:10 发表
斯科尔斯来自麻省理工学院
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150.204.33.* 在 2011年5月27日 01:25 发表
我觉得这个你strict price 你应该用
E来表示～！！！！这样比较清楚，还有那个正太分布的公式。。。初期模型不是那样的。。那个应该是转换后的吧？？？？？
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203.156.240.* 在 2011年7月14日 13:14 发表
市场方差指的是市场的总体方差，不是某一段历史数据的样本方差。
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203.156.240.* 在 2011年7月14日 13:15 发表
150.204.33.* 在 2011年5月27日 01:25 发表
我觉得这个你strict price 你应该用
E来表示～！！！！这样比较清楚，还有那个正太分布的公式。。。初期模型不是那样的。。那个应该是转换后的吧？？？？？
执行价格，又叫敲定价格，是strike price。。。。
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222.244.106.* 在 2011年7月20日 15:55 发表
看到某些人的评论，实在认为好笑。就像70年代那时的学术气氛，总以为初等数学就是高峰了一样。默顿的理论很深的。大家耐心研究吧。实际意义很大的，很多理念太令人振奋了。
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14.201.78.* 在 2011年9月6日 10:10 发表
N（d1）是给我解释下什么意思。。。N（d2)看懂了，d1没看懂。。。
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130.209.6.* 在 2011年10月28日 22:40 发表
111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:21 发表
荒谬荒谬荒谬！虽然不怎么能看懂这公式，但从逻辑上看这种思路有很大问题，应该换种思路来思考计算。本人有种不同的分析计算思路，但限于时间，暂时先这样记下。
不装会不会死？请问您哪里毕业，哪里高就，有什么证书？既然看都看不懂，好意思说人家荒谬？
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125.119.252.* 在 2012年3月15日 19:48 发表
看不懂
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118.138.178.* 在 2012年4月25日 13:19 发表
作者换下顺序这定理就更牛了！
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曹心宇 (Talk | 贡献) 在 2012年4月30日 08:06 发表
假设6永远无法成为现实。因为期权交易是为了屏蔽风险，和盈利。 若假设成立，则option这种东西不会存在。
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122.224.227.* 在 2012年7月26日 11:17 发表
曹心宇 (Talk | 贡献) 在 2012年4月30日 08:06 发表
假设6永远无法成为现实。因为期权交易是为了屏蔽风险，和盈利。 若假设成立，则option这种东西不会存在。
假设6的意思你理解错误了。假设6是指no arbitrage。不是屏蔽利润。从option中赚钱这不是arbitrage的一种体现。
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60.242.3.* 在 2012年8月26日 09:25 发表
还是英文的好 。翻译过来好难懂
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58.20.172.* 在 2013年6月4日 21:15 发表
给力啊
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130.216.172.* 在 2013年6月13日 14:00 发表
203.156.240.* 在 2011年7月14日 13:15 发表
执行价格，又叫敲定价格，是strike price。。。。
又叫exercise price...
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111.246.179.* 在 2013年11月23日 00:48 发表
130.216.172.* 在 2013年6月13日 14:00 发表
又叫exercise price...
strike price是履約價，也就是約定的價格
exercise price 則是執行的價格，與履約價並不同:)
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128.120.169.* 在 2014年2月18日 14:05 发表
111.246.179.* 在 2013年11月23日 00:48 发表
strike price是履約價，也就是約定的價格
exercise price 則是執行的價格，與履約價並不同:)
膜拜
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1.165.126.* 在 2014年3月3日 22:45 发表
black-schole 重要假設第四個被放棄原因
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175.159.11.* 在 2014年4月8日 10:07 发表
E[C_t]=P\times E[S_t|S_t>L]+(1-P)\times O=P\times E[S_t|S_t>L]-L) 第一个是(Ct|St>L)
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223.143.120.* 在 2015年3月8日 09:24 发表
111.246.179.* 在 2013年11月23日 00:48 发表
strike price是履約價，也就是約定的價格
exercise price 則是執行的價格，與履約價並不同:)
你履約的價格，不就是你執行的價格嗎…
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222.240.152.* 在 2015年11月23日 13:46 发表
111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:18 发表
"因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 "——————这句话不很荒谬吗？难道经济学家们和学人们看不出来？
一点也不，市场价格5.75，合理价格5.803，不考虑交易成本，用5.75购买5.803，没看出哪里有问题。
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42.48.174.* 在 2016年3月11日 17:16 发表
这里的“有利可图”是指赢的概率大于输的概率。金融市场有不确定性，不能保证稳赢，但如果很多次参与赢面大的交易，最后结果肯定是“有利可图”。
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210.31.122.* 在 2016年6月23日 11:09 发表
Angle Roh (Talk | 贡献) 在 2008年12月5日 16:48 发表
该条目内容是本人发的，因公式错误，而困扰了大家，本人深感抱歉，现已做了更改补充，不正确之处，请大家及时更改，谢谢！
个别公式看起来比较零乱，那是显示的原因
bs期权定价的检验方案
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58.41.213.* 在 2017年5月2日 15:56 发表
好好改改吧，别误人子弟了。书写错误太多
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117.173.133.* 在 2017年5月18日 19:26 发表
公式能定价吗？市场定价！
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223.166.8.* 在 2017年6月5日 00:38 发表
14.201.78.* 在 2011年9月6日 10:10 发表
N（d1）是给我解释下什么意思。。。N（d2)看懂了，d1没看懂。。。
d1，d2服从正态分布
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111.203.16.* 在 2018年1月5日 16:05 发表
第一个假定是错的，不是股价服从对数正态，是收益率服从对数正态，股价服从的是几何布朗。。。
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120.42.89.* 在 2018年1月5日 18:15 发表
没有错呢，B-S期权定价模型的成立就是股价服从对数正态假设成立
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221.238.245.* 在 2018年1月6日 20:19 发表
式中T改为（T-t）比较严谨
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180.97.200.* 在 2018年4月3日 12:49 发表
推导过程还是有疏漏吧，首先那个E[Ct]，Ct和G一个意思？等式最后有-L),却没有括回来，等式左边也没有L。
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139.208.30.* 在 2018年6月15日 07:34 发表
谢谢.终于有一点明白了
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132.147.72.* 在 2018年7月10日 15:36 发表
有什么适合初学者看的书吗？ 这理论字面上解释还能懂点，但公式看着晕~~~~
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152****7589 (Talk | 贡献) 在 2018年9月12日 15:09 发表
60.242.3.*：这个在哪里可以找到英文原版啊
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218.89.243.* 在 2018年12月10日 00:22 发表
真的感觉有些人就是典型的民科
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互联好运 (Talk | 贡献) 在 2019年1月7日 11:21 发表
知识生力量，实践出真知！
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128.243.2.* 在 2019年10月16日 00:45 发表
111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:09 发表
此公式纯粹是经济学扯淡！
李志愿同意
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61.157.206.* 在 2022年3月7日 16:34 发表
216.165.62.* 在 2011年4月7日 02:03 发表
你把自己吹这么厉害下个nobel你拿？
你没GET到这句话的梗。参见费马猜想。
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112.91.150.* 在 2022年6月5日 16:01 发表
111.72.130.* 在 2010年3月17日 03:21 发表
荒谬荒谬荒谬！虽然不怎么能看懂这公式，但从逻辑上看这种思路有很大问题，应该换种思路来思考计算。本人有种不同的分析计算思路，但限于时间，暂时先这样记下。
什么当代费马
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舒尔兹模型_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心布莱克-舒尔兹模型播报讨论上传视频数学模型收藏查看我的收藏0有用+10本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，又称布莱克-舒尔斯-墨顿模型（Black–Scholes–Merton model），是一种为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）与费雪·布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗伯特·墨顿（Robert C. Merton）修改模型于有派发股利时亦可使用而更完善。中文名布莱克-舒尔斯模型外文名Black-Scholes Model简 称BS模型目录1介绍2B-S模型5个重要假设3模型4派发股利的期权定价模型介绍播报编辑布莱克-舒尔斯模型（英语：Black-Scholes Model），简称BS模型，又称布莱克-舒尔斯-墨顿模型（Black–Scholes–Merton model），是一种为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·舒尔斯（Myron Scholes）与费雪·布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗伯特·墨顿（Robert C. Merton）修改模型于有派发股利时亦可使用而更完善。由此模型可以推导出布莱克-舒尔斯公式，并由此公式估算出欧式期权的理论价格。此公式问世后带来了期权市场的繁荣。该公式被广泛使用，虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的“波动率的微笑”。该模型就是以迈伦·舒尔斯和费雪·布莱克命名的。1997年迈伦·舒尔斯和罗伯特·墨顿凭借该模型获得诺贝尔经济学奖。然而它假设价格的变动，会符合高斯分布（即俗称的钟形曲线），但在财务市场上经常出现符合统计学肥尾现象的事件，这影响此公式的有效性。B-S模型5个重要假设播报编辑1.金融资产价格服从对数正态分布，即金融资产的对数收益率服从正态分布； [1]2.在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3.市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4.金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃）；5.该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。模型播报编辑 其中：Ln：自然对数；C：期权初始合理价格；L：期权交割价格；S：所交易金融资产现价；T：期权有效期；r：连续复利计无风险利率H；：年度化方差；N()：正态分布变量的累积概率分布函数。派发股利的期权定价模型播报编辑布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布莱克-舒尔斯-墨顿模型，其公式如下：其中： k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）Ln：自然对数；C：期权初始合理价格；L：期权交割价格；S：所交易金融资产现价；T：期权有效期；r：连续复利计无风险利率H；：年度化方差；N()：正态分布变量的累积概率分布函数。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000什么是Black-Scholes期权定价模型？ - 知乎
什么是Black-Scholes期权定价模型？ - 知乎首发于（量化）金融学学习笔记切换模式写文章登录/注册什么是Black-Scholes期权定价模型？斯宾王基金从业资格证持证人Black-Scholes模型可以说是最经典的用来做期权定价和对冲的数学模型，它由Black和Scholes首先提出，用来定价欧式期权（European option），后经Merton修改，使其在有股息（dividend）的情况下也可使用。此模型假设期权的基础股票（underlying stock）遵循几何布朗运动（geometric Brownian motion），并依此给出期权的唯一价格。此外，它还被用于推导期权的Greeks，以构造对冲（hedge）资产组合来消除风险。在本篇文章中，我们来介绍Black-Scholes模型和与资产定价相关的结论。1 Black-Scholes偏微分方程和Black-Scholes公式我们首先介绍Black-Scholes偏微分方程（PDE），即期权价格满足的一个偏微分方程。我们来考虑一个成交价格（strike price）为 K 、到期时间（maturity）为 T 、无股息支付的欧式看涨期权（European call option）。假设基础股票的价格 S_t 满足几何布朗运动dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t\\几何布朗运动其中 W_t 是标准布朗运动（standard Brownian motion）。令在时间 0 时有 1 元钱现金账户（cash account）在时间 t 的价值为 \exp(rt) 元，其中 r 是恒定利率（constant interest rate），即 dB_t=rB_tdt 。将看涨期权在时间 t 的价格写作 C(S,t) ，根据伊藤引理，我们有dC(S,t)=(\frac{\partial C}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2})dt+\sigma S_t\frac{\partial C}{\partial S}dW_t\\现在构造自融资（self-financing）投资组合（没有外部金钱流入或流出） \Pi_t ，在时间 t 时，持有 x_t 单位的现金账户和 y_t 单位的股票，所以 \Pi_t=x_tB_t+y_tS_t 。我们选取 x_t 和 y_t 的值，以复制看涨期权的价值。根据自融资假设，d\Pi_t=x_tdB_t+y_tdS_t\\ =(rx_tB_t+\mu y_tS_t)dt+\sigma y_tS_tdW_t\\当我们把前面两个等式的相应项对应起来，我们有 y_t=\frac{\partial C}{\partial S} 和 rx_tB_t=\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} 。若我们设置 V_0=C_0 为自融资投资组合的起始价值，我们有 V_t=C_t\ \forall\ t 。将前面两个等式带入 C_t=x_tB_t+y_tS_t ，我们得到\frac{\partial C}{\partial t}+rS_t\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}=rC\\通过变量变换可以将Black-Scholes PDE \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}-rC=0 转化为热方程（heat equation） \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} ，其中 \tau=T-t ， u=Ce^{r\tau} ， x=\ln S+(r-\frac{1}{2}\sigma)\tau 。由于边界条件（boundary condition）为 u(x,0)=u_0(x) 的热方程的解是 u(x,\tau)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}\sigma}\int_{-\infty}^\infty u_0(z)\exp(-\frac{(x-z)^2}{2\sigma^2\tau})\ dz ，且欧式看涨期权的边界条件为 u_0(S_T,K)=\max(S_t-K,0) ，我们可以得到 u(S,\tau)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\tau}\sigma}\int_{\ln K}^\infty(e^z-K)\exp(-\frac{(x-z)^2}{2\sigma^2\tau})\ dz 。令 \epsilon=\frac{z-x}{\sigma\sqrt{\tau}} ，当 z=\ln K 时， \epsilon=\frac{\ln(K/S)-(r-\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}=-d_2 ，所以u(S,\tau)=\int_{-d_2}^\infty(Se^{(r-\sigma^2/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}\epsilon}-K)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\epsilon^2/2)\ d\epsilon\\通过计算此积分（在下一部分中进行）和 C=re^{-r\tau} 这一关系，我们可以得到欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式C(S,t)=S_tN(d_1)-e^{-r(T-t)}KN(d_2)\\ d_1=\frac{\ln(S_t/K)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}=\frac{\ln(S_t/K)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\这里 N(\cdot) 是标准正态分布（standard normal distribution）的累积分布函数（CDF）。类似地，我们可以得到欧式看跌期权（European put option）定价的Black-Scholes公式P(S,t)=e^{-r(T-t)}KN(-d_2)-S_tN(-d_1)\\2 风险中性定价在上一部分中，我们发现，Black-Scholes PDE中没有出现 \mu ，所以当 \mu=r 时Black-Scholes PDE仍成立。这时投资者对持有股票没有溢价（premium）需求，而这只有在投资者是风险中性（risk-neutral）时才会发生，所以我们可以用风险中性定价求得Black-Scholes模型中欧式看涨期权的价格。在风险中性概率测度（risk-neutral probability measure）下，股价遵循的几何布朗运动的漂移项（drift term）是无风险利率 rdS_t=r S_tdt+\sigma S_tdW_t\\在风险中性概率测度下，期权价格时预期回报（expected payoff）用无风险利率的折现值（discounted value），即 C_t=e^{-r\tau}\mathbb{E}^{\mathrm{rn}}_t[V_T] ，这里 V_T 是期权在到期时间 T 的回报。对 \ln S 应用伊藤引理，我们有 d\ln S=(r-\sigma^2/2)dt+\sigma dW_t ，所以 \ln S_T\sim N(\ln S+(r-\sigma^2/2)\tau,\sigma^2\tau) ，即 S_T=Se^{(r-\sigma^2/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}\epsilon} ，其中 \epsilon\sim N(0,1) 。对于欧式看涨期权， V_T=\max(S_T-K,0) ，且当 Se^{(r-\sigma^2/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}\epsilon}=K 时， \epsilon=\frac{\ln(K/S)-(r-\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}=-d_2 。那么，折现预期回报就是上一部分中需要计算的积分\mathbb{E}^{\mathrm{rn}}_t[\max(S_T-K,0)]=\int_{-d_2}^\infty(Se^{(r-\sigma^2/2)\tau+\sigma\sqrt{\tau}\epsilon}-K)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\epsilon^2/2}\ d\epsilon\\ =Se^{r\tau}\int_{-d_2}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\epsilon-\sigma\sqrt{\tau})^2/2}\ d\epsilon-K\int_{-d_2}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\epsilon^2/2}\ d\epsilon\\令 \tilde{\epsilon}=\epsilon-\sigma\sqrt{\tau} ，当 \epsilon=-d_2 时， \tilde{\epsilon}=-d_2-\sigma\sqrt{\tau}=-d_1 。这样， Se^{r\tau}\int_{-d_2}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(\epsilon-\sigma\sqrt{\tau})^2/2}\ d\epsilon=Se^{r\tau}\int_{-d_1}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\tilde{\epsilon}^2/2}\ d\tilde{\epsilon}=Se^{r\tau}(1-N(-d_1))=Se^{r\tau}N(d_1) ，且 K\int_{-d_2}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\epsilon^2/2}\ d\epsilon=K(1-N(-d_2))=KN(d_2) 。所以我们得到欧式看涨期权的Black-Scholes公式C(S,t)=S_tN(d_1)-e^{-r(T-t)}KN(d_2)\\类似地，我们可以得到欧式看跌期权（European put option）定价的Black-Scholes公式P(S,t)=e^{-r(T-t)}KN(-d_2)-S_tN(-d_1)\\当期权的基础股票支付恒定连续股息 q 时，在风险中性概率测度下，dS_t=(r-q)S_tdt+\sigma S_tdW_t\\这种情况下的Black-Scholes公式是C(S,t)=e^{-q(T-t)}S_tN(d_1)-e^{-r(T-t)}KN(d_2)\\ P(S,t)=e^{-r(T-t)}KN(-d_2)-e^{-q(T-t)}S_tN(-d_1)\\ d_1=\frac{\ln(S_t/K)+(r-q+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}=\frac{\ln(S_t/K)+(r-q-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\\值得注意的是，Black-Scholes模型是一个完全模型（complete model），即所有衍生品都是可复制的（replicable），且每个衍生品都有唯一定价。3 波动率曲面Black-Scholes模型是一个理想化的模型，它在实践中的表现并没有那么好。例如，模型假设股价遵循连续的几何布朗运动，而在现实中股价可能出现跳跃。此外，如果股价波动率如模型所规定那样是恒定的，隐含波动率曲面（implied volatility surface）应该是平的。隐含波动率是当期权的Black-Scholes价格等于其市场价格时，股价波动率的值，它由隐函数C(S,K,T)=BS(S,T,r,q,K,\sigma(K,T))\\定义，这里 \sigma 是关于成交价 K 和到期时间 T 的函数，而 C(S,K,T) 代表对应期权的市场价格。隐含波动率曲面波动率曲面的主要特征之一是，成交价越低的期权，隐含波动率越高。在到期时间固定时，这一特征被称为波动率倾斜（volatility skew）。当成交价固定时，隐含波动率可以随到期时间增长增大或减小。普遍来说，当 T\to\infty ， \sigma(K,T) 会收敛于一个常数。而当 T 较小时，我们会观察到反转波动率曲面（inverted volatility surface），短期期权的隐含波动率远高于期限更长的期权。无套利原则（no arbitrage principle）对波动率曲面的形状做出了规定。首先，隐含波动率是非负的。此外，给定固定到期时间，波动率倾斜不能太陡，否则会出现蝴蝶套利（butterfly arbitrage）机会。如果套利不存在，那么当 K_1 如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册宽客 (Quant)期权期权定价Black-Scholes-Merton模型如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？如何理解Black-Scholes期权定价模型？能否给出一个简单易懂、生动形象的解答？关注者2,672被浏览853,924关注问题写回答邀请回答好问题 951 条评论分享62 个回答默认排序杰弗里争取做一个有趣、有文化的人 关注B-S公式其实已经有了好几种解释或者说证明方法。看了其他答主的答案，我认为对于一名初接触金融，没有深厚数学背景的人来说，其实不是那么便于理解。本人非数学专业，所以对于微分方程 (也就是最常见的B-S公式的证明法）认为不是便于大众理解，所以，此回答是基于金融常识理解加上一些最基本的积分和概率知识就能理解公式的一种尝试解释。正文大家都知道现在的钱与未来的钱价值是不同的。一般来说，现在的钱比未来的值钱。所以，如果你现在有1000块钱，在一年以后，你这些钱至少值你将这些钱放入银行定期存个一年的钱，即1000*（1+r)，其中r为银行的一年存款利率。其实我们把这件再简单不过的事反过来看，将银行去存钱当作是一份金融产品，这份金融产品在1年以后你将获得1000*（1+r）元，那么这份金融产品现在的价值（也就是你要花多少钱去买这份东西）是多少呢？很显然，是1000元。这也就引出了我们推导B-S公式的基础：金融产品的本质为预期，承诺，兑现未来现金流。即，金融产品（此指欧式看涨期权）的价值是将来我可以获得的钱的期望值的现值。就下来问题就转化为两点：第一：未来我可以拿到的钱的期望值是多少。第二：我们怎么进行贴现。我们先来解决比较容易说明的问题—第二个问题：如何贴现。相信所有学金融的人都应该学过连续复利，但本位是希望初学者也能看懂，所以知道何为连续复利的可直接跳过本段。就上面所说，1000元在1年后应该值1000*（1+r）元，而这情况是一年结一次利息的。那么我们一年结2次利息，那么1000块钱的1年后终止应该为1000*（1+r/2）'2（'2表示平方-_-，pad手打，打不了平方见谅）。这样理解的话，一年结m次息，那一年后的价值就是1000*（1+r/m）'m元，那连续复利即当m趋于无穷时，也就是每时每刻都在结利息，那1000块的价值应为1000e'r元。这样我们就得出如何贴现了：对于未来T时刻我们能获得的A元，那么这笔钱现在t时刻的价值为A*e'-（r（T-t））元先写这点，有人看了再补充～————————————————————————————————————————虽然看得人不多，但既然有人看了认为有点意思，那就把这事讲完吧。————————————————————————————————————————接着上回，既然知道了如何贴现，那么我们就来着手第二个问题：我们对于这份金融产品（也就是欧式看涨期权）的未来期望值是多少。这个问题其实也很简单，任何一个随机事件，通俗点说就是一件事情A，在概率论或者在高中知识我们就已经知道了他的期望值我们记为E（A）。所以，接着我们上面说的金融产品的价格为该产品在未来我们能获得的钱的期望值的现值。如果我们记欧式看涨期权的价格为C，那么： C=E(C)*e^{-r(T-t)} 其中，r为连续复利的无风险利率，易于理解点就是余额宝现在不是每天结钱嘛，就是那个利率 T为期权的到期时刻，t为期权未到期前的任一时刻，所以T-t就是一段时间，一般称为到期日如果就这么结束了，那么真像个江湖骗子了，这也浪费我这么久时间打了这么铺垫了，所以接下来就是精华中的精华啊——这个E（C）到底是什么。接下来就要用到一些概率统计知识了，不过我想看这文章的至少是大学以上水平了，只要学过基本的概率统计知识就行了，如果忘了也不要紧，稍微有个映像，就能懂是怎么回事了。对于大多数金融公式来说，假定都是很严格的，如CAPM，ATP（这里就不做展开，有兴趣可以自己了解下，我有时间再来谈谈这个的看法），B-S公式也不例外。如果你在百度里直接搜B-S公式，百科就直接会告诉你有哪些假设了，我们就用假设的第一条“股票价格随机波动并服从对数正态分布”。如果要问为什么，只能说第一：大多数真实存在的随机事件的分布都只是大致估计的，就像我们平时考试的成绩服从正太分布一样，并不是说我们成绩的每一个值都在正态分布的图像上，所以那些金融学家研究了很久，最终认为股票价格是最接近对数正态分布的。所以说等哪一天你发现股票的价格服从正态分布，B-S公式就会变样了。第二：这是我个人理解后的看法，由于价格是随着时间在连续变动的。我们想想为什么抛硬币的正反面概率都为0.5，因为概率的定义就是实验次数趋于无穷时的频率，有人抛了很多次，最后发现正反发生的次数一样，所以就是0.5了。而如果我们要通过无数次的实验来验证股票在任一一个时刻的概率是服从一个分布的话是不可能的，如果照抛硬币那个实验来操作，那就是要不停地重复一个时刻，然后看不同情况下股票价格的分布，而这种方式除非能有一台时光机，我们先记下今天这个时刻的股价，再倒回过去变动下市场信息再记录一个股价，重复多次才能验证。所以那些数学比较好的金融学家，就会发现，如果用股票价格S_{T} 取他的对数收益率，即 ln\frac{S_{T} }{S_{0} } ，利用对数函数的性质就能构造出差项，即ln\frac{S_T}{S_0} =ln\frac{S_T}{S_{T-1} } +ln\frac{S_{T-1} }{S_{T-2} } +……+ln\frac{S_1}{S_0} ,这样的话一个时间点的事件就可以被分割成一个时间段的事件，而这时间段的事件的数据都是可知的，这样股票价格就可以用历史数据来回归，而根据大数定律，当T趋于无穷时，每一项都应该服从正太分布，并且在均衡的市场，或者说有效市场（参看有效市场假说），各项之间都是独立的，所以独立正太分布的和为正太分布，即ln\frac{S_T}{S_0} 服从正太分布。好了这时请各位打开百度，输入对数正太分布，你就会发现\frac{S_T}{S_0} 是服从正太分布的了。最后再加个小问题。上面已经说了每一项都是独立同分布，那么假设每一项的均值为μ，方差为\sigma ^{2} ，那么对于从t时刻到T时刻的均值和方差就是（T-t）μ和（T-t）*\sigma ^{2} 了。（敏感点的话是不是发现B-S公式里面有些东西已经出现了^-^）详细证明和实验佐证请参看：http://www.doc88.com/p-7985483960592.html好了，这段如果理解了的话，那我们就可以说完成了75%的工作量了，我们再来完成到数学计算前的最后的5%。大家刚刚有没有在百科输入对数正态分布呢？如果没有的话现在打开吧，那么复杂的一个公式不可能凭空出现是吧。请大家把对数正太分布的概率密度函数抄下来，请注意，别的都不换，我们把那里面的均值和方差换成我们上面的那个。好，运用最简单的概率论和金融知识的时候到了！我们现在不是要求E（C）嘛，别和我说你忘了E（C）是啥，忘了得往前再看下=0=。概率论告诉我们期望是概率密度和函数值的乘积，也就是E= f *\int_{a}^{b} f吧当然a，b分别为正负无穷。好嘞，还记得欧式期权是什么嘛，能点进来应该都会吧，他在期末的收益是max{S_{T} -K，0}吧（K为期权的交割价格），这不就是上面那个式子的 f 嘛，还记得刚刚叫你抄的概率密度函数嘛，不就是剩下的另一半嘛，理解不了的话这么说吧，如果我和你说服从正态分布，你不就抄个正太分布。这样我们E（C）就有了吧。E(C)=max\left\{ S_{T}-K,0 \right\} *\int_{a}^{b} \frac{1}{\sigma S_{T} \sqrt{2\pi (T-t)} } *e^{-\frac{(lnS_{T}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2} (T-t)} } 做点说明：1 积分上下限为正负无穷；2上面本来说的是均值为（T-t）μ，但其实最后我们会发现与均值无关，所以为了计算简便，我们用μ代替（T-t）μ；3 积分里面的S_{T} 应该为S_{t} ，由于打公式打错了再来次太麻烦了所以就不改了。如果你被这个公式吓到了的话那我们总结下，我们的目标是不是算欧式看涨期权的价格C内？根据一开始所说C=E(C)*e^{-r(T-t)} 现在，我们E（C）有了吧，贴现也都有了吧，金融学理念基本就到此结束了，找个数学系的朋友吧，让他帮你把这积分化为B-S公式我相信30分钟就能搞定了。当然如果你没被吓到，那么大胆的算下去吧，这个积分不难算，但是要想凑出B-S公式的那个形状，还需要些金融理念的小技巧~但是我们已经站在了巨人的肩膀上了，凑一凑不难的。————————————————————————————————————————写了不少了，虽然只有一个朋友有过留言，但是我还是想把这个想法写下来。我认为到这步为止，应该对B-S公式是怎么回事有了了解了，但是剩下的20%的计算过程其实也很关键。由于篇幅原因加上公式不方便输入我就不会再写下去了。这是我第一次在知乎上写东西，而且写得这么长，自己都吓一跳啊。希望本文能对各位初学期权定价的朋友能有所帮助。本文纯属手打，若有觉得雷同或者不正确的地方请各位指出。编辑于 2018-12-11 19:50赞同 95976 条评论分享收藏喜欢收起知乎用户期权交易员这个问题关注很久了，想着能不能有一天以一个交易员的视角去回答这个问题。终于给我等到这一天了！（激动！）这么多大佬回答这个问题，要是我也跟着答一个，那才显得我……是吧？来，不废话，让我以一个期权交易员的角度和大家说说怎么理解这个BSM公式。（接下来括号内的内容是重点，请好好留意。）一开始，我们假设有这么一个资产组合：\Pi =\Delta S-V（这个假设是万恶之源：它告诉交易员，衍生品是可以通过标的资产进行复制的！怎么复制？使得整个组合delta中性来复制！）然后，这个资产组合瞬时变化如下：d\Pi = d(\Delta S-V)=\Delta dS-dV泰勒展开一下：d\Pi =\Delta dS-dV=\Delta dS-(\Delta dS+\frac{1}{2} \Gamma (ds)^{2}+\theta dt )=-\frac{1}{2} \Gamma (ds)^{2}-\theta dt =-\frac{1}{2} \Gamma (\sigma _{real} )^{2}S^{2}-\theta dt（这个展开式告诉交易员，你对手上的期权空头进行delta对冲之后，由于期权的payoff是凸的，你不可能通过线性的S做到完全复制，复制剩下的就是你要冒的风险（同时也是盈利点））然后BSM祖师爷告诉我们，这个对冲后的资产组合，正常情况下，你只能获得无风险收益：d\Pi =\Delta dS-dV=r\Pi dt（作为交易员，天天盯着盘面看你告诉我最后只有无风险收益？卧槽那还不如放余额宝？）接下来就有那个著名的PDE啦。（解方程我不懂的，不要问我。）（所以，整个BSM公式对于交易员的意义就在于：它告诉期权交易员，假如你找到一个通过标的资产复制衍生品的方法，使得 复制成本（折现）< 衍生品权利金，那么你就是盈利的。）有些人会觉得BSM公式的意义就在于套个参数算个结果美滋滋。有些人却会用它来赚钱。理论只是一个工具，发挥怎样的功效，还是看使用的人。编辑于 2017-09-08 09:21赞同 28117 条评论分享收藏喜欢 Black-Scholes 模型学习框架 - 知乎切换模式写文章登录/注册Black-Scholes 模型学习框架bwwwQuant又是数学学到头秃的一天。。。挺秃然的，就此篇文章主要详细讲解推导 Black-Scholes 定价公式的两种不同方法（Non-arbitrage Pricing和 Risk-neutral Pricing），以及详细讲解推导过程中所用到的假设、定义和定理。一篇文章帮大家解脱 BS 模型的折磨，少脱点发...一、基本框架众所周知，推导BS定价公式有两种不同的方法 ，即：构建含衍生品的资产组合，利用无套利原理，得到 BS 偏微分方程;进行等价鞅测度的变换，利用鞅性质，得到风险中性下的定价公式。资产定价基本定理说明了以上这两种方法是等价的；而联系这两种方法结果的，就是著名的 Feynman-Kac 定理！怎么利用无套利原理？怎么进行测度变换？什么是 Feynman-Kac 定理？嗯，看完本文你都会懂。二、BS 模型的假设推导一个数学公式，最重要的是弄清楚什么是我们现在已知的。通常，我们已知的东西就是三样：模型的假设、各种定义、已知的定理，因此弄清楚 BS 模型的假设非常有必要。BS 模型对市场的假设有：两种资产：债券（无风险资产）、股票（风险资产）；No Arbitrage，市场是无套利的，一旦出现套利机会价格就会被修正；可以以任意数量做多或做空资产，即可以无限细分资产，可以做空股票，可以借钱；Frictionless，不存在交易摩擦。BS 模型对两种资产价格的假设有：股票无分红 (No Dividend)，股价 S_t 服从参数为常数的几何布朗运动（GBM, Geometric Brownian Motion），即服从随机微分方程（SDE, Stochastic Differential Equation）：dS_t =\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t 利率为常数，债券 B_t 收益为连续复利：B_t=B_0e^{rt},\quad dB_t=rB_tdt,\quad B_0=1 当然，你可以考虑利率为时间的函数或者考虑随机利率模型。同样，你也可以考虑股价服从参数不为常数的 GBM，例如将波动率 \sigma 考虑为时间和股价的函数 \sigma(t,S_t) 的 local volatility model 或者是服从某 SDE 的 stochastic volatility model。也可以考虑存在分红的股票，但基本思想与此模型的差异不大，这里不做深究。记住以上假设，特别是 dS_t 和 dB_t 的公式，后面我们会经常用到。三、Non-arbitrage Pricing0. 概述这种定价方法主要有两种途径，Replicating Portfolio：利用资产组合去复制（Replicating）衍生品的 Payoff 来进行对冲；Delta-hedging：用衍生品和其标的资产（这里即股票），构建无风险的资产组合；需要特别注意的是，不同的教材用的途径不一样...，我一开始学的时候也被弄昏了...，例如 Shreve 的 Stochastic Calculus for Finance 使用的是第一种，Tomas Bjork 的 Arbitrage Theory in Continuous Time 用的是第二种。当然，本质上这两种方法是相同的，即利用了无套利原理进行定价。1. 无套利原理什么是无套利原理呢？首先，我们想象 3 种持续 T 年的合约：合约 A 在 T 年后给你 1 个苹果；合约 B 在 T 年后给你 1 个梨子；合约 C 在 T 年后给你 1 个苹果 + 1 个梨子。请问这 3 种合约的价格有什么关系？嗯，当然是V(A)+V(B)=V(C) 那什么时候存在套利呢？考虑 V(A)+V(B)>V(C) 的情况。假设我们初始资金为 0，我们可以卖出（做空）一份合约 A 和一份合约 B 得到 V(A)+V(B)，同时花 V(C) 买入（做多）一份合约 C。此时，我手里的钱有 V(A)+V(B)-V(C)>0 ，而到期时（ T 年后）我正好可以用合约 C 给我的苹果和梨子去还给合约 A 和合约 B。我们发现我们用 0 初始资金，每进行一单位这样的交易，就可以白赚 V(A)+V(B)-V(C)>0 的钱！这简直就是空手套白狼， 这样的好事谁能忍心放弃？无套利原理告诉我们，市场上每个人都会抓住这种套利机会进行“空手套白狼”，因此最终价格会稳定于 V(A)+V(B)=V(C) 。其实，我们发现合约 A 和合约 B 在到期时的收益（Payoff）正好与合约 C 相同，这时我们就称 A 和 B 的资产组合 Replicates 了 C 的 Payoff。注意，以上分析是对合约期内任何时间都成立，即有\forall t\in[0,T],\quad V_t(A)+V_t(B)=V_t(C) 这时，我们就可以得到无套利原理的数学表达：定理 (无套利). 若在 [0,T] 内市场无套利，对市场内的两种投资组合 \Phi_1 和 \Phi_2 如果 V_T(\Phi_1)=V_T(\Phi_2) ，则有： V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2), \forall t\in[0,T] .即，若两个资产组合的期末价值相同，则在到期前的任何时刻，他们的价值都应该相同。那如何保证 V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2) 这样的等式对 t 都成立？方法就是令他们的值和微分始终相同，即 V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2),dV_t(\Phi_1)=dV_t(\Phi_2)。2. Replicating Portfolio既然有以上的无套利原理，我们很自然的想到一个想法：如果一个资产组合可以完全复制衍生品到期时的收益，那么该衍生品的价格就应该等于该组合的价格，而该组合此时的价格是完全已知的（此时市场的股价和债券价格已知为 S_0 和 B_0 ），那么我们不就知道了衍生品的价格么... 事实上正是如此。假设某标的资产是股票的衍生品，在到期时的 Payoff 与到期时的股价 S_T 有关，设 Payoff 为 V(S_T,T) 。假如是欧式看涨期权，则 V(S_T,T)=(S_T-K)^+。同时设一自融资的（Self-financing）资产组合 \Pi_t 由 \gamma_t 的债券和 \Delta_t 的股票组成，则 \Pi_t=\gamma_tB_t+\Delta _tS_t 。这里涉及到一个定义叫做自融资资产组合，什么是自融资？Finance 的英文本意是“资金支持”，那么 Self-financing 的意思就是，这个组合的资金自给自足嘛，即这个资产组合在整个过程中，我们不再添加资金或取出资金。这样的自融资资产组合，有数学上的定义：定义 (自融资). 资产组合 \Pi_t=\sum_{i=1}^{n}{w_iS_{i,t}} 是自融资的，如果有 d\Pi_t=\sum_{i=1}^{n}{w_idS_{i,t}} .根据这个定义，我们立马可以知道： d\Pi_t=\gamma_tdB_t+\Delta _tdS_t ，再回想一下假设中对债券价格的假设 dB_t=rB_tdt ，则d\Pi_t=r\gamma_tB_tdt+\Delta _tdS_t 我们再来看衍生品的 t 时刻的价值 V(S_t,t) ，他的微分 dV(S_t,t) 怎么求？这里我们需要用到随机分析里的“牛莱公式”—— 伊藤-德布林公式。定理 (Ito-Doeblin). 设函数 f(t,x) 的偏导数 f_t(t,x),f_x(t,x),f_{xx}(t,x) 都有定义并且连续，X(t)是适应的伊藤过程，则对于每个 T\ge0，都有：df(t,X_t)=f_t(t,X_t)dt+f_x(t,X_t)dX_t+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)d[X_t,X_t ].（其中 [X_t,X_t] 是二次变差，至于他的定义和计算可以看我之前的文章）这步就是套公式嘛，很简单，用以上的公式，我们可以套出：\begin{align} dV_t&=V'_tdt+V'_xdS_t+\frac{1}{2}V''_{xx}d[S_t,S_t] \\&=\left( V'_t+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} \right)dt + V'_xdS_t \end{align}好的，这里只差最后一步了，利用我们无套利原理得出的V_t(\Phi_1)=V_t(\Phi_2),dV_t(\Phi_1)=dV_t(\Phi_2)，我们令 \Pi_t=V_t,d\Pi_t=dV_t ，并让他们微分的 dt 和 dS_t 的部分分别相等，可以得到\left\{ \begin{aligned} &V'_x=\Delta_t&\quad(dS_t)\\ &V'_t+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} =r\gamma_tB_t&\quad(dt)\\ \end{aligned} \right.把第二行的 \gamma_tB_t 替换为 V_t-V'_xS_t 可以得到：\left\{ \begin{aligned} &V'_x=\Delta_t&\quad(1)\\ &V'_t+rS_tV'_x+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} -rV_t=0&\quad(2)\\ \end{aligned} \right.可以看到式 (1) 就是 Delta 对冲法则，式 (2) 就是著名的 Black-Scholes 偏微分方程。易证明，当衍生品是欧式看涨期权时，即该方程有抛物边界条件，其中终值条件（Terminal Condition）为 V(S_T,T)=(S_T-K)^+，它的解即为 BS 公式：V(S_t,t)=SN(d_1)-Ke^{-r(T-t)}N(d_2) \begin{align} d_1&=\frac{\ln(\frac{S_t}{K})+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ d_2&=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \end{align} 这里 N(d)=\int_{-\infty}^{d}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx} 为标准正态分布的累计概率。这里有一点我们需要特别注意，我们发现，股价服从的 SDE 中的 \mu（漂移率，Drift）对 V(S_t,t) 没有任何影响，而 \sigma（波动率，Volatility）和无风险利率 r 会对 V(S_t,t) 产生影响。这似乎暗示着我们，股价是上涨还是下跌，都不影响衍生品的定价， \mu doesn't matters！似乎有“风险中性”那味儿了...3. Delta-hedging我们现在考虑用衍生品 V(S_t,t) 和其标的资产 S_t 构建一个“无风险组合”，为什么“无风险”要打引号呢？因为这里的“无风险”，特指“随着股价变动而衍生品价格发生变动”的风险，即我们要构建一个组合，该组合的价值不会因为 S_t 变化而变化。考虑这样的自融资组合 \Pi_t=\Delta_tS_t-V_t ，即每一单位的空头衍生品，我们用 \Delta_t 单位多头的股票对其进行对冲（Hedging），由于其自融资的特性，根据定义，我们有 d\Pi_t=\Delta_tdS_t-dV_t ，将股价的 SDE 和 上一节中通过伊藤-德布林公式求出的 dV_t 带入这个式子，我们可以得到：d\Pi_t=\left[ (\Delta_t-V'_x)\mu S_t-V'_t-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2V''_{xx} \right]dt+(\Delta_t-V'_x)\sigma S_tdW_t到这里，我们还有一个条件没有用，那就是该组合是无风险的，怎么样才能保证该组合是无风险的呢？“无风险”简单的直觉就是，不存在不确定的项呗，那就是 dW_t 的系数为 0，并且收益为无风险收益 r 。事实确实如此，且有数学形式的定理来对此进行描述：定理. 一个自融资组合 V_t 如果是无风险的，则可以表示为 dV_t=k_tV_tdt ，且 k_t\equiv r .按照这个定理，我们非常熟悉的资产，比如债券 dB_t=rB_tdt ，就是一个无风险的自融资资产。无风险好理解，为什么说债券是自融资呢？因为根据微分式，有 B_t=e^{rt}，可以看到实际上“连续复利”的概念就等同于“把每时每刻产生的收益再投资到债券中”，后者即是常微分方程 dB_t=rB_tdt 最直白的描述， rB_tdt 是该时刻产生的收益， dB_t 是债券价值的增量。根据以上定理，我们可以得到：\left\{ \begin{aligned} &\Delta_t-V'_x=0&\quad(1)\\ &(\Delta_t-V'_x)\mu S_t-V'_t-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2V''_{xx}=r\Pi_t&\quad(2)\\ \end{aligned} \right.式 (1) 即 Delta 对冲法则，将 \Pi_t=V'_xS_t-V_t 带入式 (2) 我们再次得到 Black-Scholes 偏微分方程：V'_t+rS_tV'_x+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2 V''_{xx} -rV_t=0 。4. 总结至此，我们就把第一种方法的两种得到 PDE 的途径讲解完了。至于这个 PDE 是如何解的，其实不是很重要...这个方程是个热方程，可以化为标准的热方程，然后使用热方程的基本解（或者叫热核，Heat Kernel）来计算解析解。总之，我们这一章通过以下几步得到了衍生品定价的偏微分方程：设定 dS_t 和 dB_t 的形式，设 V_t 是 S_t,t 的函数；构建资产组合 \Pi_t ，利用伊藤-德布林公式求出相微分 d\Pi_t 和 dV_t ；利用自融资条件 + 无套利/无风险条件，分别令微分的各个部分系数相等，得到 PDE。四、Risk-neutral Pricing0. 概述用测度变换的方法进行 BS 公式的推导是很多人都不想的...，因为你看上一章的内容无套利原理是多么的“友好”，小学生都能理解... 这也是为什么基本上教材啊、知乎上的文章啊都是从资产对冲、无套利定价到 PDE 以此来推出 BS 公式的。而这一章就会涉及到很多概率方面的定义和定理了，尽量给大家解释明白...1. 鞅鞅（Martingale）是金融定价里最核心的概念之一，下面给出定义定义 (鞅). 在 (\Omega,\mathcal{F},P) 上的随机过程 X_t,t\in[0,T] 如果满足：X_t 是 \mathcal{F}_t-适应的 (adapted);E|X_t|<\infty,\forall t\in[0,T] ;对于 s\le t，有 E[X_t|\mathcal{F}_s]=X_s ；则称 X_t 是关于域流 \mathcal{F_t} 的鞅。不太清除“适应性”“域流”这些基本概念的同学，可以去我的第一篇文章“概率论与布朗运动”里看... 简单来说，鞅本质就是一个随机过程，这个随机过程满足一个性质：现在对未来的期望（条件），始终等于现在的值，如果是无条件的期望呢，那就等于初值嘛，即 E[X]=X_0 。2. Radon-Nikodym 导数既然说这一章要使用测度变换来进行BS模型的推导，那么必然涉及到测度之间的变换，RN导数就是连接两个测度之间的“桥梁”。定义 (RN导数). 设 P 和 \tilde{P} 为 (\Omega,\mathcal{F}) 上的等价测度，若 Z>0 ， E[Z]=1\quad(a.s.) ，且有 \forall A\in\mathcal{F},\quad \tilde{P}(A)=\int_A{Z(w)dP(w)} ，则称 Z 是 \tilde{P} 关于 P 的 Radon-Nikodym 导数，记作： Z=\frac{d\tilde{P}}{dP} .直观上来看， Z 就是两个 dP 之比，稍作变形有： \int_\Omega{Xd\tilde{P}}=\int_\Omega{XZdP} ，即 \tilde{E}[X]=E[ZX] ，其中 \tilde{E}[·] 表示在测度 d\tilde{P} 下的期望。进一步的，可以用条件期望定义R-N导数过程： Z_t=E[Z|\mathcal{F_t }],\quad t\in[0,T] 。用鞅和R-N导数过程的定义，可以简单的证明 ，R-N导数过程 Z_t 是一个 \mathcal{F_t}-鞅：\begin{aligned} E|Z_t| &= E\big| E[Z|\mathcal{F}_t] \big| \le E \big[ E\big[|Z|\big|\mathcal{F}_t\big] \big]=E|Z|<\infty \end{aligned} （可积性）E[Z_t|\mathcal{F}_s]=E\big[ E[Z|\mathcal{F}_t]\big| \mathcal{F}_s\big]=E[Z|\mathcal{F}_s]=Z_s, \quad s如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？ - 知乎
Black-Scholes 模型学习框架 - 知乎